矩阵

矩阵的基础定义

矩阵是3D数学的重要基础，它主要用来描述两个坐标系之间的关系，通过定义一种运算将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。

矩阵的数学定义

在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。例如下列的一个3x4的矩阵：

\[\begin{bmatrix} 0&-1&1&1 \\ 1&0&1&4 \\ 2&1&3&-4 \end{bmatrix}\]

方阵

行和列数相同的矩阵被定义为方阵，例如：2x2, 3x3, 4x4的矩阵都是方阵。方阵的对角线元素就是行号和列号都相同的元素。例如：3x3的矩阵M的对角线元素为\(m_{11}\), \(m_{22}\), \(m_{33}\)。其他元素为非对角线元素。

对角矩阵

非对角线元素都为0的元素为对角矩阵。

单位矩阵

单位矩阵是一种特殊的对角矩阵。它的对角元素都为1，非对角元素都为0. 单位矩阵非常特殊，因为它是矩阵的乘法单位元，其性质是用任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵。

矩阵运算

矩阵转置

一个r x c的矩阵M。M的转置记作\(M^T\), 是一个c x r的矩阵，它的列由M的行组成。可以从另一方面理解，\(M_{ij}^T = M_{ji}\) ,及沿着对角线翻折。例如：

\(\begin{bmatrix} 0&-1&1&1 \\ 1&0&1&4 \\ 2&1&3&-4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0&1&2 \\ -1&0&1 \\ 1&1&3 \\ 1&4&-4 \end{bmatrix}\)

标量与矩阵乘法

\(k\textbf{M}=k\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13} \\ m_{21}&m_{22}&m_{23} \\ m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} km_{11}&km_{12}&km_{13} \\ km_{21}&km_{22}&km_{23} \\ km_{31}&km_{32}&km_{33} \end{bmatrix}\)

矩阵乘法

在某些情况下，两个矩阵可以相乘。决定矩阵能否相乘以及怎么计算结果的法则初看起来有些奇怪。一个r x n 矩阵A能够乘以一个n x c的矩阵B,结果是一个r x c的矩阵，记作 AB。矩阵乘法计算如下：记r x n矩阵A与n x c矩阵B的积r x c 矩阵AB为C。 C的任意元素\(\textbf{C}_{ij}\)等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。 正式定义为：

\(c_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)

矩阵乘法满足的定律（前提是矩阵乘法有意义）：

• 任意矩阵M乘以单位矩阵I的到原矩阵 MI=IM=M

• 矩阵乘法不满足交换律，即 AB \(\neq\) BA

• 矩阵乘法满足结合律，即 (AB)C=A(BC)

• 矩阵的转置\((AB)^T = B^TA^T\)

向量与矩阵的乘法

因为向量能被当作是一个行或一列的矩阵，所以能够用上一节的矩阵乘法来计算。但是左乘矩阵和右乘矩阵这个两个的区别特别重要。例如，用矩阵A， B和C转换向量v,用行向量记法记作vABC。注意矩阵按顺序从左往右列出。如果使用列向量，矩阵放在左边，转换从右往左发生，这种情况下应该记作CBAv

矩阵的几何定义

一般来说，方阵能够描述任意线性变换，比如：

• 旋转
• 缩放
• 投影
• 镜像
• 仿射