向量的基本定义
数学定义
向量就是一个数列，是一个只有大小和方向的一个数学量，和标量不同，标量是一个只有大小的量。向量的记法如下：
行向量:a=\(\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}\)
列向量:a=\(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)
几何定义
向量是有大小和方向的有向线段。向量和点不同点表示了一个固定的位置然而向量是没有位置的，你画在任何地方都行，因为向量表示它在各个方向上的位移关系。向量的几何表示如下图：
向量的运算
负向量
负向量就是在一个向量的前面加上一个负号。例如：a=\(\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}\),它的负向量就是\(\begin{bmatrix}-1&-2&-3\end{bmatrix}\)
运算法则
-\(\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}-a_1&-a_2&\cdots&-a_n\end{bmatrix}\)
几何解释
向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。如下图：
标量与向量的乘法
向量与标量相乘，结果将得到一个与原向量平行，但长度不同或方向相反的向量。
运算法则
将向量中的每个元素和标量相乘。公式如下：
\[k\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\a_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_1\\ ka_2\\ \vdots\\ka_n\end{bmatrix}\]
几何解释
按照k的缩放因子进行缩放，如下：
向量的加法和减法
向量相加和相减的前提是两向量维度相同。结果向量的维度和原向量相同。
运算法则
将对应的向量元素相加。公式如下：
\[\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\a_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\ a_2 + b_2\\ \vdots\\a_n+b_n\end{bmatrix}\]
减法的操作可以转换为加法：a-b=a+(-b)
几何解释
向量点乘(内积)
运算法则
向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量：
\[\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\a_n\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\b_n\end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\]
用连加符号简写为：
\(a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\)
几何解释
一般来说，点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两向量越相近。如下图：
点乘等于向量大小与向量夹角的\(cos\)值的积：
\(a\cdot b=||a|| ||b||cos{\theta}\)
向量叉乘(叉积)
运算法则
向量叉乘得到一个向量且不满足交换律，点乘满足交换律。公式如下：
\[\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}y_1z_2 -z_1y_2\\z_1x_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2\end{bmatrix}\]
几何解释
（1）.叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量，如下图：
\(a\times b\)的长度等于向量的大小与向量的夹角\(sin\)值的积，如下：
\[||a\times b||=||a||||b||sin{\theta}\]
已经证明了\(a\times b\)垂直于a,b。但是垂直于a,b有两个方向。\(a\times b\)指向哪个方向呢？通过将a的头与b的尾相连，并检测从a到b是顺时针还是逆时针。如果在左手坐标系中，左手四个（除大拇指）指母重贴与a,b向量的方向大拇指指向的方向就是\(a\times b\)垂直的方向。右手坐标的也相同只是使用右手来判断。
（2）.\(||a\times b||\)也等于两向量组成的平行四边形的面积。
向量大小(长度或模)
运算法则
公式如下：
\[||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}\] 或 \[||v||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}\]
距离公式
同一坐标系中的两个点的距离，实际上可以看作是两个点构成的一个向量，那么两个点的距离就等于此向量的模长。
运算法则
距离\(（a,b）=||b-a||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}\)
标准化向量
对于许多向量，我们只关心它的方向而不是大小。在这种情况下使用单位向量将会非常方便。单位向量就是大小为1的向量，单位向量也被称之为标准向量或更简洁地称为法线。
运算法则
对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量\(v_{norm}\)。这个过程被称作向量的标准化，要标准化向量，将向量除以他的大小（模）即可。公式如下：
\[v_{norm}=\frac{v}{||v||},v\ne 0\]
注意：零向量是不能被标准化的，因为除零是没有定义的。
几何解释
如下图：
向量投影
给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量：\(v_{||}和v_{\perp}\)。他们分别平行和垂直于n，并满足\(v=v_{||}+v_{\perp}\)。一般称平行分量\(v_{||}\)为v在n上的投影。
运算法则
公式如下：
\[v_{||}=n\frac{v\cdot n}{||n||^2}\] \[v_{\perp}=v-v_{||}\]
几何解释
如下图：
总结
向量是用来表示方位和距离的，也就是映射到每个轴的偏移。向量的常规运算有：向量与标量乘法，向量加减法，向量点乘，向量叉乘。
参考文献
[1] Fletcher Dunnlan Parberry. 3D数学基础：图形与游戏开发.北京:清华大学出版社.2005.1.